例如:

0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529…

观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质:

性质1:末位数只能是0,1,4,5,6,9。

(此为完全平方数的必要不充分条件，且定义为"一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数"，0为整数，故0是完全平方数)

性质2:奇数的平方的个位数字一定是奇数，偶数的平方的个位数一定是偶数。

证明 奇数必为下列五种形式之一:

10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9

分别平方后，得

综上各种情形可知:奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9;十位数字为偶数。

性质3:如果十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6;反之也成立

证明 已知

，证明k为奇数。因为个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则

10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6 

或10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6 

即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1

或k=10+12n+3=2(5+6n)+3

∴ k为奇数。

推论1:如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。

推论2:如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。

性质4:偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1。

这是因为

性质5:奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型。

(奇数:n比那个所乘的数-1;偶数:奇数:n比那个所乘的数-2)

在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到 是8n+1型的数;由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。

性质6:形式必为下列两种之一:3k,3k+1。

因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类:3m,3m+1,3m+2。平方后，分别得

同理可以得到:

性质7:不是5的因数或倍数的数的平方为5k+-1型，是5的因数或倍数的数为5k型。

性质8:形式具有下列形式之一:16m,16m+1,16m+4,16m+9。

除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加:1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题:

一个数的数字和等于这个数被9除的余数。

下面以四位数为例来说明这个命题。

设四位数为，则

1000a+100b+10c+d

= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)

=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)

显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数。

对于n位数，也可以仿此法予以证明。

关于完全平方数的数字和有下面的性质:

性质9:数字之和只能是0,1,4,7,9。

证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1,9k±2,9k±3,9k±4这几种形式，而

除了以上几条性质以外，还有下列重要性质:

性质10:为完全平方数的充分必要条件是b为完全平方数。

证明 充分性:设b为平方数，则=(ac)

必要性:若为完全平方数，=，则

性质11:如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。

证明 由题设可知，a有质因数p，但无因数，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。

性质12:在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数。

即若

则k一定不是整数。

性质13:一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身)。