排列分类：选排列和全排列，可重复排列，不尽相异元素的全排列，环状排列
组合分类：通常意义的组合，可重复排列
排列的定义及其计算公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示。A(n,m)=n(n-1）（n-2）……（n-m+1）= n!/(n-m)! 此外规定0!=1
组合的定义及其计算公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。C(n,m)=A(n,m）∧2/m!=A(n,m)/m！； C(n,m)=C(n,n-m）。（其中n≥m)
其他排列与组合公式 从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A(n,m)/m=n!/m(n-m)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1！×n2！×...×nk!). k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为C(m+k-1,m）。
C-Combination 组合数
A-Arrangement 排列数（在旧教材为P-Permutation）
N-元素的总个数
M-参与选择的元素个数
！-阶乘
⑴加法原理和分类计数法
⒈加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。
⒉第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。
⒊分类的要求 ：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。
⑵乘法原理和分步计数法
⒈ 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。
⒉合理分步的要求
任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。
(a+b)^n=Σ（0->n)C(in)a^(n-i)b^i
通项公式：a_(i+1）=C(in)a^(n-i)b^i
二项式系数：C(in)
杨辉三角：右图。两端是1，除1外的每个数是肩上两数之和。
系数性质：⑴和首末两端等距离的系数相等；
⑵当幂指数是奇数时，中间两项最大且相等；
⑶当幂指数是偶数时，中间一项最大。
⑷奇数项和偶数项总和相同，都是2^(n-1）；
⑸所有系数总和是2^n
奇偶定义：对组合数C(n,k) (n>=k）：将n,k分别化为二进制，若某二进制位对应的n为0，而k为1 ，则C(n,k）为偶数；否则为奇数。
下面是判定方法：
结论：
对于C(n,k），若n&k == k 则c(n,k）为奇数，否则为偶数。
证明：
对于C(n,k），若n&k == k 则c(n,k）为奇数，否则为偶数。
证明：
利用数学归纳法：
由C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1）；
对应于杨辉三角：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
………………
可以验证前面几层及k = 0时满足结论，下面证明在C(n-1,k）和C(n-1,k-1） (k > 0) 满足结论的情况下，
C(n,k）满足结论。
1）.假设C(n-1,k）和C(n-1,k-1）为奇数：
则有：（n-1）&k == k;
（n-1）&(k-1） == k-1;
由于k和k-1的最后一位（在这里的位指的是二进制的位，下同）必然是不同的，所以n-1的最后一位必然是1
。
现假设n&k == k。
则同样因为n-1和n的最后一位不同推出k的最后一位是1。
因为n-1的最后一位是1，则n的最后一位是0，所以n&k != k，与假设矛盾。
所以得n&k != k。
2）.假设C(n-1,k）和C(n-1,k-1）为偶数：
则有：（n-1）&k != k;
（n-1）&(k-1） != k-1;
现假设n&k == k.
则对于k最后一位为1的情况：
此时n最后一位也为1，所以有（n-1）&(k-1） == k-1，与假设矛盾。
而对于k最后一位为0的情况：
则k的末尾必有一部分形如：10; 代表任意个0。
相应的，n对应的部分为：1{*}*; *代表0或1。
而若n对应的{*}*中只要有一个为1，则（n-1）&k == k成立，所以n对应部分也应该是10。
则相应的，k-1和n-1的末尾部分均为01，所以（n-1）&(k-1） == k-1 成立，与假设矛盾。
所以得n&k != k。
由1）和2）得出当C(n,k）是偶数时，n&k != k。
3）.假设C(n-1,k）为奇数而C(n-1,k-1）为偶数：
则有：（n-1）&k == k;
（n-1）&(k-1） != k-1;
显然，k的最后一位只能是0，否则由（n-1）&k == k即可推出（n-1）&(k-1） == k-1。
所以k的末尾必有一部分形如：10;
相应的，n-1的对应部分为：1{*}*;
相应的，k-1的对应部分为：01;
则若要使得（n-1）&(k-1） != k-1 则要求n-1对应的{*}*中至少有一个是0.
所以n的对应部分也就为 ：1{*}*; （不会因为进位变1为0)
所以 n&k = k。
4）.假设C(n-1,k）为偶数而C(n-1,k-1）为奇数：
则有：（n-1）&k != k;
（n-1）&(k-1） == k-1;
分两种情况：
当k-1的最后一位为0时：
则k-1的末尾必有一部分形如：10;
相应的，k的对应部分为 : 11;
相应的，n-1的对应部分为 : 1{*}0; （若为1{*}1，则（n-1）&k == k)
相应的，n的对应部分为 : 1{*}1;
所以n&k = k。
当k-1的最后一位为1时：
则k-1的末尾必有一部分形如：01; （前面的0可以是附加上去的）
相应的，k的对应部分为 : 10;
相应的，n-1的对应部分为 : 01; （若为11，则（n-1）&k == k)
相应的，n的对应部分为 : 10;
所以n&k = k。
由3），4）得出当C(n,k）为奇数时，n&k = k。
综上，结论得证。
