地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie的英国大学生提出来的。德·摩尔根Augustus De Morgan180618711852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。四色问题又称四色猜想是世界近代三大数学难题之一。

四色猜想的提出来自英国。1852年毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象“看来每幅地图都可以用四种颜色着色使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。

1852年10月23日他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德·摩尔根。摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密顿爵士请教。汉密尔顿接到摩尔根的信后对四色问题进行论证。但直到1865年汉密尔顿逝世为止问题也没有能够解决。

1872年英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题。于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878-1880年两年间著名的律师兼数学家肯普(Alfred Kempe)和泰勒(Peter Guthrie Tait)两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。大家都认为四色猜想从此也就解决了。肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其他国家或没有三个以上的国家相遇于一点这种地图，就说是“正规的”左图。如为正规地图否则为非正规地图右图。一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起，但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色。如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五色的，要证明四色猜想成立只要证明不存在一张正规五色地图就足够了。

肯普是用归谬法来证明的。大意是如果有一张正规的五色地图就会存在一张国数最少的“极小正规五色地图”。如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个。就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的。这样一来就不会有极小五色地图的国数也就不存在正规五色地图了。这样肯普就认为他已经证明了“四色问题”，但是后来人们发现他错了。

不过肯普的证明阐明了两个重要的概念，对以后问题的解决提供了途径。第一个概念是“构形”。他证明了在每一张正规地图中至少有一国具有两个、三个、四个或五个邻国，不存在每个国家都有六个或更多个邻国的正规地图。也就是说由两个邻国三个邻国、四个或五个邻国组成的一组“构形”是不可避免的。每张地图至少含有这四种构形中的一个。

肯普提出的另一个概念是“可约”性。“可约”这个词的使用是来自肯普的论证。他证明了只要五色地图中有一国具有四个邻国就会有国数减少的五色地图。自从引入“构形”“可约”概念后逐步发展了检查构形，以决定是否可约的一些标准方法，能够寻求可约构形的不可避免组是证明“四色问题”的重要依据。但要证明大的构形可约需要检查大量的细节这是相当复杂的。                     

11年后即1890年在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。他指出肯普说没有极小五色地图能有一国具有五个邻国的理由有破绽。不久泰勒的证明也被人们否定了。人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题——五色定理。就是说对地图着色用五种颜色就够了。后来越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁但一无所获。于是人们开始认识到这个貌似容易的题目其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。　进入20世纪以来科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年美国著名数学家、哈佛大学的伯克霍夫利用肯普的想法结合自己新的设想证明了某些大的构形可约。后来美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年有人从22国推进到35国。1960年有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。