切比雪夫不等式的提出早在19世纪，俄国数学家切比雪夫在研究运算规律中，通过论证并用标准差表达了一个不等式，这个不等式具有普遍的意义，被称作切比雪夫定理。下文中主要介绍的什么是切比雪夫不等式，切比雪夫不等式的推导证明方法，一起来了解吧。

一、什么是切比雪夫不等式

切比雪夫不等式的定义是：设X是一个随机变数取区间(0，∞)上的值，F(x)是它的分布函数，设Xα(α >0)的数学期望M(Xα )存在，a>0，则不等式成立。这就是著名的切比雪夫定理，或者切比雪夫不等式。

切比雪夫定理的这一推论，使我们关于算术平均值的法则有了理论根据，设测量某一物理量a，在条件不变的情况下重复测量n次，得到的结果X1，X2，…，Xn是不完全相同的。

二、切比雪夫不等式的推导证明方法

1、切雪夫不等式证明方法

试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。

分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此

1000次试验中出现正面H的次数服从二项分布.

解:设X表示1000次试验中出现正面H的次数,则X是一个随机变量,且

~XB(1000,1/2).因此

500

2

1

1000=×==npEX,

250)

2

答题完毕，祝你开心!

1

1(

2

1

1000)1(= ××= =pnpDX,

而所求的概率为

}500600500400{}600400{ << =< }100100{< < =EXXP

}100{< =EXXP

975.0

100

1

2

= ≥

DX

2、比雪夫不等式证明方法

切比雪夫(Chebyshev)不等式

对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε>0,

恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2

切比雪夫不等式说明，DX越小，则 P{|X-EX|>=ε}

越小，P{|X-EX|<ε}越大， 也就是说，随机变量X取值基本上集中在EX附近，这进一步说明了方差的意义。

同时当EX和DX已知时，切比雪夫不等式给出了概率P{|X-EX|>=ε}的一个上界，该上界并不涉及随机变量X的具体概率分布，而只与其方差DX和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。

切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过K倍标准差的'数据占的比例至多是1/K^2。

在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近：

与平均相差2个标准差的值，数目不多于1/4

与平均相差3个标准差的值，数目不多于1/9

与平均相差4个标准差的值，数目不多于1/16